函数赋值法的例题
刘耀文的大沙雕
钟意阿满
求一些高一函数赋值法题目
先看两个例题
例一：已知二次函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0，f(1)=-2。
(1)判断函数f(x)的奇偶数。
(2)当x∈[-3,3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由。
解：令 x=y=0
得到f（0）=0
f(0)=f(x + -x)= f(x)+ f(-x) 奇函数。
设 x1<x2 x2-x1=m>0。
f(x2)=f(x1+m)=f(x1)+f(m)。
因为f（m）>0 f(m)<0。
f(x2)<f(x1) 递减。
递减函数 最大值 是 f（-3） 最小值 f（3）
f（-1）=-f（1）= 2
f（-2）= 2f（-1）=4。
f（-3）=f（-2）+f（-1）=6。
同理 f（3）= -6
例二：f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＜0时f(x)＞0。
1.判定f(x)的奇偶性？
2.x∈【-2006，2006】时f(x)是否有最值？（是多少？）
答案：1 令x=y=0 代入得。
f(0+0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0。
令x=x,y=-x代入得
f(0)=f(x)+f(-x)=0。
所以-f(x)=f(-x)即f(x)为奇函数。
2 设x1<x2
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)。
因为x1-x2<0 所以f(x1-x2)>0 既f(x1)-f(x2)>0。
所以f(x)为减函数 故f(x)在【-2006，2006】上为减函数。
所以f(x)MAX=f(-2006),f(x)MIN=f(2006) 。
赋值法一般就是令x.y为某值，代入所给的函数关系，也可以是抽象函数，一步步推导出想要的结果。
重要的是观察结果和已知，正过来反过来做做（分析法和综合法一起试试，先找思路）。
根据已知函数看看，能不能靠带入特殊值得出想要的结果（可以是要求的结果，也可以是求出来这东西就能简化问题进而得出答案）
抱起亚轩找小葵
用赋值法求函数解析式 如题：已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y
f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＜0时f(x)＞0。
1.判定f(x)的奇偶性？
2.x∈【-2006，2006】时f(x)是否有最值？（是多少？）
答案：1 令x=y=0 代入得。
f(0+0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0。
令x=x,y=-x代入得
f(0)=f(x)+f(-x)=0。
所以-f(x)=f(-x)即f(x)为奇函数。
2 设x1<x2
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)。
因为x1-x2<0 所以f(x1-x2)>0 既f(x1)-f(x2)>0。
所以f(x)为减函数 故f(x)在【-2006，2006】上为减函数。
所以f(x)MAX=f(-2006),f(x)MIN=f(2006) 。
定义在实数集上的奇函数f(x),对于任意正实数x都有f(x+2)= -f(x)。当x∈【-1，1】时f(x)=x的立方。
1.证明f(x)关于x=1对称。
2.x∈【1，5】时求f(x)的解析式？？
答案：1.证明:f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),对于任意正实数x都有f(x+2)= -f(x),。
故f(x+1)=f(x-1+2)=-f(x-1)=f(1-x) 即f(x)关于x=1对称。
2.f(x)关于x=1对称,x∈[-1，1]时f(x)=x^3,x+2∈[1，3],f(x+2)=-f(x)=-x^3。
即x∈[1，3]时,f(x)=-(x-2)^3.此时x+2∈[3，5],f(x+2)=-f(x)=(x-2)^3。
即x∈[3，5]时,f(x)=(x-4)^3。
综上，x∈[1，3]时,f(x)=-(x-2)^3;x∈[3，5]时,f(x)=(x-4)^3. 。
高一的一道函数解答题 赋值法
悬赏分：45 - 提问时间2009-7-21 21:34 。
f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＜0时f(x)＞0。
问题：b的平方≥2。解不等式：
2分之1 f(x的平方 乘以 b)- f（x）＞2分之1 f(b的平方 乘以 x) - f(b)。
答案：令x=y=0 f(0)=0。
令y=x f(2x)=2f(x) f(x)=1/2f(2x)。
设x为任意实数,y<0,f(x+y)-f(x)=f(y)>0。
所以f(x)单调减
1/2*f(bx^2)-f(x)>1/2*f(b^2*x)-f(b)。
=>1/2*[f(bx^2)-f(b^2*x)]>f(x)-f(b)。
=>1/2*f(bx^2-b^2*x)>f(x-b)。
=>f((bx^2-b^2*x)/2)>f(x-b)。
bx^2-b^2*x<2(x-b)。
bx^2-(b^2+2)x+2b<0。
(bx-2)(x-b)<0。
x1=2/b,x2=b
x2-x1=(b^-2)/b
若b>根号2,x2>x1,解集(2/b,b)。
b=根号2,x2=x1,无解
若b<-根号2,x2<x1,解集(b,2/b)。
b=-根号2,x2=x1,无解。
所以b>根号2,x2>x1,解集(2/b,b)。
b<-根号2,x2<x1,解集(b,2/b)。
b=+/-根号2,x2=x1,无解。
大圣杰锅是
高一数学抽象函数赋值法的问题，如已知函数y=f(n),满足f(0)=1,且f(n)=nf(n-1),n∈N+，求f(1),f(2),f(3)
f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x)=f(1)+f(2)+……+f(x-1)+2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)。
左边 f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x-1)+f(x)。
右边f(1)+ f(2)+…… +f(x-1) +2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)。
f(2)...f(x-1)相消。
左边只剩下f(x)
右边为f(1) + 2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1) = 1+x(x-1)+4x-4 = x^2-x+4x-3=x^2-3x-3。
小韩在追星
高1函数解题方法的名称+例题
直接代入不行么？f(1)=1*f(0)=1, f(2)=2*f(1)=2, f(3)=3*f(2)=6, 你要注意，题目要求的是n是正自然数，而不是n-1, 所以可以直接代入。
小韩在追星
抽象函数
一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
1抽象函数常常与周期函数结合，如：
f(x)=-f(x+2)
f(x)=f(x+4)
2解抽象函数题，通常要用赋值法，而且高考数学中，常常要先求F（0） F（1）
抽象函数的经典题目！！！
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法谈一点粗浅的看法。
一．特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。
例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )。
A 有最小值f (a) B有最大值f (b) C有最小值f (b) D有最大值f ( )。
分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有 。
特殊函数 抽象函数
f (x)= x f (xy) =f (x) f (y)。
f (x)=
f (x+y)= f (x) f (y)。
f (x)=
f (xy) = f (x)+f (y)。
f (x)= tanx f(x+y)= 。
此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)。
∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。
二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。
例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法。
解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,。
再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。
得 f (x)是一个奇函数，再令 ，且 。
∵x <0，f (x) >0，而 ∴ ，则得 ，
即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。
例3 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数 ， ，恒有f( )=f( )+f( ),。
试判断f(x)的奇偶性。
解：令 = -1， =x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令 =1， =-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令 = =-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得。
f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。
三．利用函数的图象性质来解题：
抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。
抽象函数解题时常要用到以下结论：
定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x= 对称。
定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。
例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。
分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。
由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。
证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。
∴f (x)是一个周期函数。
例5 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围。
分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。
解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得 ，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m< 。
采纳我的吧