factorization

因式分解的步骤

因式分解(分解因式)factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。

.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2。

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)。

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)。

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2。

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]。

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)。

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]。

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)。

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因式分解用英语怎么讲

导语：因式分解的常用方法，还有很多方法都很不错，也能对我们的数学能力进行拓展，例如十字相乘法等等。我们在学习初中数学因式分解的时候，一定要多做题，题海战术虽然饱受诟病，但是对于初中数学确实是理解和熟练知识点的最佳途径，当然要适量，不可疲劳战，这是为了保持对学习的浓厚兴趣，长此以往，养成习惯，你会发现数学这么简单。

因式分解的步骤

1、提公因式;

2、公式法(完全平方式、平方差公式)。

初中数学因式分解常用解法有哪些提公因式法 。

① 公因式： 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.。

② 提公因式法 ：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。

am+bm+cm=m(a+b+c)。

③ 具体方法： 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.。

初中数学因式分解常用解法有哪些。

运用公式法

①平方差公式：.a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

②完全平方公式：a^2±2ab+b^2=(a±b)^2。

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.。

分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.。

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.。

拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.。

※多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;。

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;。

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;。

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

配方法： 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

换元法 ：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

待定系数法： 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

扩展资料：

因式分解（英语：factorization，factorisation或factoring）是指把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程，分解过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。例如多项式x-4可被分解为(x+2)(x-2)。

基本概念

定义

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

相关结论

基本结论：分解因式与整式乘法为相反。

高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。

1）因式分解与解高次方程有密切的.关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2）所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)。

3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。

4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。

分解一般步骤

1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

原则

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；

5、结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；

6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；

8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

分解方法

因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

什么是factorization？还有几道问题！！美国八年级程度数学！！急！！！

factorization 。

英[ˌfæktəraiˈzeiʃən] 美[ˌfæktəraiˈzeiʃən] 。

n. 因数分解; 。

In mathematics , factorization ( also factorisation in some forms of British English )。

分解因式的一些方法

就是因式分解。下面就是用质因数分解来找最大公约数。

答案为15，3，9，18，4，6，5，18，3，16，6，6。

.因式分解

即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 。

初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等 。

要求为：要分到不能再分为止。

2.方法介绍

2.1提公因式法：

如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。

例15x3+10x2+5x

解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。

解：原式=5x(x2+2x+1) 。

=5x(x+1)2

2.2公式法

即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：

a2-b2=(a+b)(a-b) 。

a2±2ab+b2=(a±b)2 。

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 。

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 。

a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 。

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 。

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 。

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 。

an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 。

说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。

例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 。

解析各小题均可套用公式

解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) 。

=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) 。

②1+x+x2+…+x15= 。

=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 。

注多项式分解时，先构造公式再分解。

2.3分组分解法

当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 。

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) 。

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) 。

=(m3+1)(m12+m6++1) 。

=(m3+1)[(m6+1)2-m6] 。

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 。

例2分解因式：x4+5x3+15x-9 。

解析可根据系数特征进行分组

解原式=（x4-9）+5x3+15x 。

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) 。

=(x2+3)(x2+5x-3) 。

2.4十字相乘法

对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法, 。

即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。

例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12 。

解①1x2

1x-3

原式=（x+2）(x-3)

②2x-3

3x4

原式=（2x-3）(3x+4) 。

注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。

2.5双十字相乘法

在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：

（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图 。

（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项 。

例5分解因式

①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2 。

③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 。

解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3) 。

2x-3y1

2xy-3

②原式=（x-5y+2）(x+2y-1) 。

x-5y2

x2y-1

③原式=(b+1)(a+b-2) 。

0ab1

ab-2

④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z) 。

2x-3yz

3x-y-2z

说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。

如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2) 。

④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：

2.6拆法、添项法

对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4 。

解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3) 。

法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4) 。

法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4) 。

法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4) 。

法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等 。

解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4 。

=x2(x-1)+4(x-1)(x+1) 。

=(x-1)(x2+4x+4) 。

=(x-1)(x+2)2

2．7换元法

换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此 。

种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。

例7分解因式：

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 。

解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到 。

(x+1)(x+4)=x2+5x+4 。

(x+2)(x+3)=x2+5x+6 。

故可用换元法分解此题

解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120 。

令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120 。

=y2-121

=(y+11)(y-11)

=(x2+5x+16)(x2+5x-6) 。

=(x+6)(x-1)(x2+5x+16) 。

注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？

2．8待定系数法

待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。

例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20 。

分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法 。

先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b) 。

解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n) 。

=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………

比较两个多项式（即原式与*式）的系数 。

m+2n=14(1)m=4

3m-3n=-3(2)=> 。

mn=20(3)n=5

∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5) 。

注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n 。

令a=1,b=0,m+2n=14m=4 。

=>

令a=0,b=1,m=n=-1n=5 。

2.9因式定理、综合除法分解因式 。

对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 。

由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数 。

若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解 。

例8分解因式x3-4x2+6x-4 。

解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4 。

∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4, 。

∵f(1)≠0,f(1)≠0 。

但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法 。

21-46-4

2-44

1-220

所以原式=(x-2)(x2-2x+2) 。

当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4 。

=x(x-2)2+(x-2) 。

=(x-2)(x2-2x+2) 。

分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!。

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