反常积分求导公式
刘耀文的大沙雕
钟意阿满
常用反常积分公式怎么推导？
变量是否需要换元，就是看积分函数里，有没有要求导的自变量，这里上面的式子有x-t，那么就不能直接对x求导，需要进行换元。
进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。
x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。
单调性：
（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。
抱起亚轩找小葵
反常积分，怎么求？
设 I泊松积分 ＝ (0, ∝ )∫[e^(-x^2)] dx。
I^2 = {(0, ∝ )∫[e^(x^2)] dx }*{(0, ∝ )∫[e^(y^2)] dy。
= (积分区间D )∫∫[e^(-x^2 - y^2 )] dxdy (面积分）
=> [ 积分变换 ρ^2 = x^2 + y^2 , dxdy = ρdρdθ , D: 0 ≤ρ≤ + ∝ , 0 ≤θ≤ π/2 ]。
= (积分区间D )∫∫[e^(-ρ^2) ] ρdρdθ (面积分）
= {(0 ≤θ≤ π/2 )∫dθ}{(0 ≤ρ≤ + ∝ )∫[e^(-ρ^2)ρdρ ] }。
= (π/2)* (1/2)
故 I ＝ 泊松积分 = (√π)/2。
扩展资料：
反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：
对第一类无穷限而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
大圣杰锅是
反常积分和定积分计算方法一样吗
解：
，因此x=0不是被积函数的奇点，设。
函数在被积区域连续(s>0)，则由积分号下的导数规则可得：
F(s)= -arctan(s)+C (C待定)，F(﹢∞)= -π/2+C = 0，则C=π/2。
F(s)= -arctan(s)+π/2，因此。
小韩在追星
高数反常积分求过程
亲你好，日反常积分的计算 先求积分,然后取极限。方法和定积分的方法是一样的。 U是与变量x的变化区间[a,b]相关的量。
U对于[a,b]具有可加性，即U = ΣΔU。
ΔU可以近似表示为f(x)Δx的形式。
通常写出这个U量的积分表达式有两种格式：
一是定义法：严格执行，分割，近似代替，求和取极限 的三步骤。
二是微元法：设U分布在[a,x]上，且当x=b时，U(b)是所求最终值，如果在任意小的区间[x,x+Δx] ，U的增量ΔU可以表示为ΔU=f(x)Δx+o(Δx)，其中f(x)是[a,b]上的连续函数，则U(b)=∫f(x)dx |a->b。
定积分应用
应用一：求平面图形的面积:包括直角坐标系，参数方程，极坐标系三种情况。
应用二：求体积：包括知到平行截面面积求体积，旋转体体积。
应用三：求平面曲线弧长：有定理，设曲线C的参数方程 x=x(t) ,y=y(t) t∈[a,b] ,且C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长L=∫√(x`^2(t)+y`^2(t)) dt |a->b。
应用四：求旋转曲面的面积：有定理，设曲线C是x=x(t) ,y=y(t)≥0 t∈[0,L]，且为光滑曲线，则C 绕x轴旋转一周所得曲面的面积为 S= 2π∫y(t)dt |0->L。
应用五：变力做功：压力，力矩与重心，涉及一定的大学物理知识，在此不多展开。
反常积分的概念和基本性质：
设f(x）在[a，+∞]上有定义，且任一[a，u]上可积，如果存在极限，lim ∫f(x)dx=J |a->u ,u->+∞ ,则称J是f(x)在[a，+∞]上的无穷反常积分，记作 J=∫f(x)dx |a->+∞，并称∫f(x)dx |a->+∞ 收敛，如果极限不存在，则称反常积分发散。
设f(x）在[a，b)上有定义，且任一[a，u][a，b)上可积，f在点b的任一左半去心邻域内无界，如果存在极限，lim ∫f(x)dx=J |a->u ,u->b- ,则称J是无界函数f(x)在[a，b)上的无穷反常积分，也称瑕积分，b是瑕点，记作 J=∫f(x)dx |a->b，并称∫f(x)dx |a->b 收敛，如果极限不存在，则称瑕积分发散。
反常积分的基本性质：和定积分类似，具有线性性，积分换元法和分部积分法。
小韩在追星
求反常积分∫（0到+∞）e^(-ax) *(sinx/x) dx （a＞0）
这样做没错，不过太繁琐了。下面的方法稍微简单些：
∫cotx/(1+sinx)dx= ∫cosx/[sinx(1+sinx)]dx （令u=sinx，du= cosxdx）
= ∫1/u(1+u) du = ∫[1/u -1/(1+u)]du 。
=ln|u| -ln|1+u| +C。
= ln|sinx/(1+sinx)| +C。
对不定积分的结果求导，只要等于被积函数，就说明积分结果正确。